Number theory 18

Trang chủ > Bài toán, Lý thuyết số, Phương trình nghiệm nguyên, Sơ cấp > Number theory 18

Number theory 18

Tháng Tám 30, 2013 phamquangtoan Bình luận về bài viết này Go to comments

(Đề thi chọn đội tuyển HSG tỉnh Nghệ An năm 2011) Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn

$x^{2010}+x^{2009}+ \cdots + x+2= y^5$

Lời giải. Xét bổ đề: Nếu $p,q$ là số nguyên tố, $a$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ thoả mãn $q| \dfrac{a^p-1}{a-1}$ thì hoặc $p=q$ hoặc $q \equiv 1 \pmod{p}$ .

Chứng minh. Gọi $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $x^k \equiv 1 \pmod{q}$ . Theo đề bài ta suy ra $x^p \equiv 1 \pmod{q}$ . Vậy $k|p$ . Do đó $k=1$ hoặc $k=p$ .

Nếu $k=1$ thì $x \equiv 1 \pmod{q}$ . Do đó $x^{p-1}+x^{p-2}+ \cdots + 1 \equiv p \pmod{q}$ . Do đó $p \equiv 0 \pmod{q}$ hay $p=q$ .

Nếu $k=p$ . Theo định lý Fermat nhỏ ta lại có $x^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}$ nên $p|q-1$ . Vậy $q \equiv 1 \pmod{p}$ .

Quay lại bài toán. Phương trình tương đương với $\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}=y^5-1$ . Nhận thấy $2011$ nguyên tố.

Gọi $p$ là một ước nguyên tố bất kì của $y^5-1=(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)$ . Ta suy ra $p=2011$ hoặc $p \equiv 1 \pmod{2011}$ . Vậy các ước của $y^5-1$ hoặc chia hết cho $2011$ hoặc chia $2011$ dư $1$

Nếu $2011|y-1$ . Khi đó $y \equiv 1 \pmod{2011}$ với $k \in \mathbb{N}^*$ , điều này mâu thuẫn vì $y^4+y^3+y^2+y+1 \equiv 4 \pmod{2011}$ .

Nếu $y-1 \equiv 1 \pmod{2011}$ . Khi đó $y \equiv 2 \pmod{2011}$ nên $y^4+y^3+y^2+y+1 \equiv 31 \pmod{2011}$ , mâu thuẫn.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Tổng quát. Nếu $p$ nguyên tố lớn hơn $3$ , $n$ là số nguyên dương sao cho các số $p-1,p,n,n+1$ từng đôi một không có ước số chung lớn hơn $2$ . Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên