Ước chung, bội chung | .:: Pham Quang Toan's blog ::. '-'

Lưu trữ

Archive for the ‘Ước chung, bội chung’ Category

Number theory 24

Tháng Mười 4, 2013 phamquangtoan Bình luận về bài viết này

Tìm bộ ba số nguyên dương $(m,n,l)$ sao cho $\begin{cases} m+n=(m,n)^2 \\ l+n=(l,n)^2 \\ m+l=(m,l)^2 \end{cases}.$

Lời giải. Gọi $\gcd \left( (m,n),(n,l) \right)=d$ thì $d|(m,l)$ . Đặt $m=dm_1,n=dn_1,l=dl_1$ với $m_1,n_1,l_1 \in \mathbb{N}^*$ . Khi đó ta có

$2(m+n+l)=(m,n)^2+(n,l)^2+(l,m)^2 \\ \Leftrightarrow 2(m_1+n_1+l_1)= d \left[ (m_1,n_1)^2+(n_1,l_1)^2+(l_1,m_1)^2 \right].$

Ta suy ra $d|2(m_1+n_1+l_1)$ .

Nếu $d \nmid 2$ thì $d|m_1,d|n_1,d|l_1$ . Do đó $d^2|(m,n),d^2|(n,l)$ . Ta suy ra $\gcd \left( (m,n),(n,l) \right)>d^2>d$ , mâu thuẫn. Vậy $d|2$ hay $d \in \{ 1;2 \}$ .

Tương tự thì $\gcd \left( (n,l),(l,m) \right), \gcd \left( (l,m),(m,n) \right) \in \{ 1;2 \}$ . Không làm mất tính tổng quát, ta xét các trường hợp sau:

Nếu $\gcd \left( (m,n),(n,l) \right)= \gcd \left( (n,l),(l,m) \right)=1 \Rightarrow \gcd \left( (l,m),(m,n) \right)=1$ . Đặt $(m,n)=k,(n,l)=p,(l,m)=q$ với $k,q,p \in \mathbb{N}^*$ thì $(k,p)=(p,q)=(q,k)=1$ . Theo điều kiện trên ta suy ra $k \nmid l, p \nmid m, q \nmid n$ . Do đó tồn tại các số nguyên dương $a_1,a_2,a_3$ đôi một nguyên tố cùng nhau và $(a_i,k),(a_i,p),(a_i,q) \ne 1$ thỏa mãn $\begin{cases} m=kqa_1 \\ n=kpa_2 \\ l=pqa_3 \end{cases}$ . Do đó từ hệ trên ta có hệ $\begin{cases} qa_1+pa_2=k \\ ka_2+qa_3=p \\ pa_3+ka_1=q \end{cases}$ . Phương trình đầu suy ra $q \le k$ nhưng phương trình thứ 3 thì $q \ge k$ . Vậy $q=k$ . Tương tự $q=k=p$ nên $a_1+a_2=1$ , mâu thuẫn vì $a_1+a_2 \ge 2$ .
Nếu $\gcd \left( (m,n),(n,l) \right)= \gcd \left( (n,l),(l,m) \right)=2 \Rightarrow \gcd \left( (l,m),(m,n) \right)=2$ . Đặt $(m,n)=2k,(n,l)=2p,(l,m)=2q$ với $k,p,q \in \mathbb{N}^*, 2 \nmid kqp$ thì $(k,p)=(p,q)=(q,k)=1$ . Theo điều kiện trên ta có $k \nmid l, p \nmid m, q \nmid n$ . Do đó tồn tại các số nguyên dương $a_1,a_2,a_3$ nguyên tố cùng nhau và $(a_i,k),(a_i,p),(a_i,q) \ne 1$ thỏa mãn $\begin{cases} m=2kqa_1 \\ n=2kpa_2 \\ l=2pqa_3 \end{cases}$ . Do đó từ hệ của giả thiết thì