Number theory 19

Tháng Chín 1, 2013 Bình luận về bài viết này Go to comments

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x^3+10x-1=y^3+6y^2.

Lời giải. Đặt x=y+b với b \in \mathbb{Z}. Ta có

\begin{aligned} (1) & \Leftrightarrow y^3+3y^2b+3yb^2+b^3+10y+10b-1=y^3+6y^2 \\ & \Leftrightarrow y^2(3b-6)+y(3b^2+10)+b^3+10b-1=0 \qquad (1) \\ \Delta & = (3b^2+10)^2-(12-24b)(b^3+10b-1) \ge 0 \\ & = -3b^4+24b^3-60b^2+252b+76 \\ & = 1399- 3(b^2-4b)^2-3(2b-21)^2 \ge 0 \end{aligned}

Do đó (b^2-4b)^2+(2b-21)^2 \le 466. Nhận thấy (2b-21)^2 \le 466 nên 0 \le b \le 21.

Theo phương trình ban đầu thì x,y khác tính chẵn lẻ nên b lẻ.

Nếu b=1 thì (1) \Leftrightarrow -3y^2+13y+10=0 \Leftrightarrow y=5 \Rightarrow x=6.

Nếu b=3 thì (1) \Leftrightarrow 3y^2+37y+56=0, không có nghiệm nguyên.

Nếu b=5 thì (1) \Leftrightarrow 9y^2+85y+174=0 \Leftrightarrow y=-3. Khi đó x=2.

Nếu b=7 thì (1) \Leftrightarrow 15y^2+157y+412=0, vô nghiệm.

Nếu b=11 thì (1) \Leftrightarrow 27y^2+373y+1440=0, vô nghiệm.

Nếu b=13 thì (1) \Leftrightarrow 33y^2+517y+2326=0, vô nghiệm.

Nếu b=15 thì (1) \Leftrightarrow 39y^2+685y+3524=0, vô nghiệm.

Nếu b=17 thì (1) \Leftrightarrow 45y^2+877y+5082=0, vô nghiệm.

Nếu b=19 thì (1) \Leftrightarrow 51y^2+1093y+7048=0, vô nghiệm.

Nếu b=21 thì (1) \Leftrightarrow 57y^2+442y+9470=0, vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm nguyên \boxed{(x,y)=(6,5),(2,-3)}.

Nhận xét. Một ví dụ điển hình cho kĩ thuật giảm bậc trong giải phương trình nghiệm nguyên.

Chuyên mục:Bài toán, Lý thuyết số, Phương trình nghiệm nguyên, Sơ cấp
  1. Không có bình luận
  1. No trackbacks yet.

Bình luận về bài viết này