Lưu trữ
Chuyển địa chỉ Blog
Mình hiện giờ không còn dùng blog này nữa. Blog này mình viết chủ yếu là giải toán THCS để luyện thi vào cấp 3. Blog mới của mình hiện tại là
https://combigeomery.wordpress.com
Kì thi giải toán VMEO của diễn đàn VMF.
Các đề thi của kỳ thi VMEO trước được các thành viên của nhóm Cộng Tác Viên thiết kế. Đề thi vừa rất gần gũi với các bạn học sinh, vừa tạo nhiều điều kiện để các bạn trẻ có thể trao đổi nhiều hơn với nhau về các bài toán sơ cấp đẹp, khó và thú vị. Đây chính là điểm đặc biệt của kỳ thi VMEO mà chúng tôi sẽ cố gắng gìn giữ và phát huy hơn nữa.
Tiếp nối những kì VMEO cũ, chúng tôi xin thông báo với các bạn về kì thi VMEO IV. Đề thi được sự đóng góp của các bạn học sinh, sinh viên, các thầy cô dạy học THCS, THPT (thầy Trần Quang Hùng THPT chuyên KHTN, thầy Hà Duy Hưng THPT chuyên ĐHSP HN…). Hiện tại, cuộc thi đang diễn ra đợt một tháng 10 (1/10 đến 20/11) và đợt 2 tháng 11 (1/11 đến 20/12). Mọi lời giải xin gửi về email vmeovmf@gmail.com.
Xin giới thiệu với các bạn đề thi tháng 10 và tháng 11. Rất mong các bạn có thể tham gia dự thi. Giải thưởng cho kì thi này sẽ là giấy chứng nhận, sách toán hoặc tiền mặt.
Nếu các bạn có mong muốn đóng góp đề đề nghị cho VMEO, xin hãy gửi đề và lời giải đề nghị của bạn qua email vmeovmf@gmail.com kèm theo tên bạn (tên tác giả) và một số bình luận (nếu có).
Các bạn có thể tham khảo link chi tiết hơn về điều lệ VMEO tại các link sau:
Number theory 30
(Switzerland National Olympiad 2007) Tìm mọi số tự nhiên thỏa mãn
là số nguyên.
Lời giải. Xem tại đây.
Geometry 21
(Thi thử vào lớp 10 chuyên KHTN năm 2013-2014) Cho tam giác nội tiếp đường tròn
. Đường tròn
tiếp xúc
lần lượt tại
và tiếp xúc trong
tại
.
lần lượt cắt
tại
khác
. Đường tròn ngoại tiếp
cắt nhau tại
khác
.
a) Chứng minh rằng là hình bình hành.
b) Gọi làn lượt cắt
tại
khác
. Gọi
cắt
tại
. Chứng minh
cân.
Lời giải. a) Vì tứ giác nội tiếp nên
. Tương tự ta cũng có
.
Lại có tứ giác nội tiếp nên
.
Từ ba điều trên ta suy ra . Vậy
thẳng hàng.
Ta có (cùng bù với
) do tứ giác
nội tiếp.
Ta có vì tứ giác
nội tiếp.
Hơn nữa thì thẳng hàng nên
. Do đó
hay
.
Chứng minh tương tự . Do đó
là hình bình hành.
b) Theo câu a ta có là hình bình hành nên
đi qua trung điểm
.
Kẻ tiếp tuyến của
thì suy ra
cũng là tiếp tuyến của
. Ta có
suy ra
nên
.
Vì và
đi qua trung điểm
nên
đi qua trung điểm
của
.
Lấy điểm là giao của
và
. Tam giác
có
trung điểm
và
nên
trung điểm
.
Vì nên
. Mặt khác thì
vì tứ giác
nội tiếp. Do đó
nên tứ giác
nội tiếp.
Vì nội tiếp nên
mà
vì
là tiếp tuyến của
. Do đó
.
Dễ chứng minh tia nằm giữa hai tia
và tia
nằm giữa hai tia
. Khi đó từ
suy ra
. Kết hợp với
ta suy ra
. Ta có
(vì
trung điểm
) hay
.
Giả sử tiếp tuyến tại cắt tiếp tuyến tại
tại
.
.
Dễ chứng minh vì
và
vì
. Mà
nên suy ra
hay
.
Hơn nữa theo thì
nên
. Mặt khác
cùng thuộc cung
của
nên
. Do đó
suy ra
nên
. Vậy
thẳng hàng.
. Trong
thì
. Do đó tứ giác
nội tiếp.
Ta có (vì
). Mà
vì
nội tiếp. Do đó
. Ta suy ra
thẳng hàng. Như vậy thì
.
Hay nói cách khác (giao của hai tiếp tuyến tại
của
) chính là giao của
và
. Vậy
hay
cân tại
.
Geometry 20
(Thi vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN-DHQGHN 2012-2013) Cho hình vuông nội tiếp đường tròn
. Điểm
thuộc cung nhỏ
của
(
khác
).
cắt
theo thứ tự tại
.
cắt
theo thứ tự tại
.
cắt
tại
.
a) Chứng minh và
.
b) Chứng minh .
c) Gọi là giao điểm của
và
. Chứng minh rằng
cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
.
Lời giải.
a) Ta có nên
(phụ với
) hay
(đối đỉnh). Ta suy ra
nội tiếp. Do đó
.
Lại có nên
nội tiếp nên
. Do đó
.
Chứng minh tương tự .
có $YO$ vừa là trung truyến vừa là đường cao nên
cân tại
. Do đó
mà
nên
suy ra
. Chứng minh tương tự
.
nên
. Do đó
. Chứng minh tương tự
. Khi đó thì
suy ra
.
b) Vì nên
. Do đó
lần lượt vuông cân tại
. Khi đó
. Ta cũng dẫn đến
nên
vuông cân tại
với
.
Dễ chứng minh suy ra
. Mà
nên
. Như vậy
.
Ta có nên
hay
. Mà
nên
. Như vậy
.
Từ và
, kết hợp với
(chứng minh trên) ta suy ra
.
Lại có nên
. Do đó
.
nên
suy ra
.
Chứng minh tương tự .
Vậy .
c) Theo câu b, ta có . Do đó
. Ta suy ra
nội tiếp. Khi đó
nên
. Mà
nên
.
có $DC$ vừa là đường cao vừa là phân giác nên
trung điểm
. Hay nói cách khác
đối xứng với
qua
. Cho nên
.
Ta đã có và
. Vì
nên
nằm trên cung góc
dựng trên đoạn
. Ta xét các trường hợp
nằm trong, ngoài
suy ra mâu thuẫn. Do đó chỉ có thể
. Nói cách khác
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh thẳng hàng. Ta có
nên
. Vậy
suy ra
thẳng hàng.
Vậy cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp
.
Geometry 19
(Thi thử vào lớp 10 chuyên KHTN) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn
.
là hai đường cao với
tương ứng thuộc cạnh
. Tiếp tuyến tại
của
cắt nhau tại
.
cắt
tại
.
trung điểm
.
a) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
.
b) là đường kính của
.
cắt
tại
khác
. Chứng minh rằng các tứ giác
nội tiếp.
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với
tại
.
Lời giải.
a) Vì là giao hai tiếp tuyến tại
của
nên
là đường trung trực của
. Mà
trung điểm
nên
thẳng hàng và
phân giác
.
Ta có .
Hơn nữa thì nên
mà
nên
. Ta có tứ giác
nội tiếp. Do đó
hay
phân giác
.
là giao điểm của hai phân giác của
nên
là tâm đường tròn nội tiếp
.
b) Vì là tiếp tuyến của
nên
và
. Từ đó dẫn đến
cân tại $latex $Q$ có
là phân giác nên
.
Ta cũng có đường kính nên
. Do đó
nên
. Từ hai điều trên ta suy ra
dẫn đến
nội tiếp.
Chứng minh tương tự, ta có nội tiếp.
Vì nội tiếp nên
.
Vì nội tiếp nên
. Do đó
. Ta suy ra tứ giác
nội tiếp.
c) Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Kẻ tiếp tuyến
tại
của đường tròn này (vì
nội tiếp nên
).
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử nằm trên cung nhỏ
. Do
là tiếp tuyến của
nên
không thể nằm giữa
và
, mà
là tia nằm giữa.
Theo cách dựng ta có .
Dễ chứng minh tương tự theo câu c thì nên
.
Vì nội tiếp nên
. Như vậy kết hợp với
và
ta suy ra
.
Vì nội tiếp nên
.
Ta có . Từ đây ta suy ra
cũng là tiếp tuyến của
.
Như vậy và
có tiếp tuyến chung, các điểm thuộc
nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
nên hai đường tròn này tiếp xúc trong tại
.
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên có chứa ẩn ở số mũ
Đây là một bài viết của mình nhân dịp 10 năm sinh nhật Diễn đàn Toán học.
Bài viết giới thiệu một số phương pháp, kĩ thuật để giải quyết các bài toán phương trình nghiệm nguyên có chứa ẩn ở số mũ.