Number theory 14

Trang chủ > Bài toán, Lý thuyết số, Phương trình nghiệm nguyên, Sơ cấp > Number theory 14

Number theory 14

Tháng Bảy 26, 2013 phamquangtoan Bình luận về bài viết này Go to comments

Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^{2}y+x+y=xy^{2}z+yz+7z$ .

Lời giải. Vì $y,x \in \mathbb{N}^*$ nên $xy^2+y+7>0$ . Phương trình tương đương với $z= \dfrac{x^2y+x+y}{y^2x+y+7}$ .

Bài toán được đưa về dạng tìm $x,y$ nguyên dương sao cho $z$ nguyên dương. Ta thấy $z$ nguyên dương thì

$y \cdot z= \dfrac{x^2y^2+xy+y^2}{y^2x+y+7}= x+ \dfrac{y^2-7x}{y^2x+y+7}$

nguyên dương. Khi đó $\dfrac{y^2-7x}{y^2x+y+7}$ nguyên. Do đó $|y^2-7x| \ge y^2x+y+7$ .

$\blacktriangleright$ Trường hợp 1. Nếu $y^2>7x$ thì $y^2-7x \ge y^2x+y+7 \Leftrightarrow (y^2+7)(1-x) \ge 14+y$ . Vì $x,y \in \mathbb{N}^*$ nên $(y^2+7)(1-x) \le 0$ còn $14+y>0$ , mâu thuẫn.

$\blacktriangleright$ Trường hợp 2. Nếu $y^2<7x$ thì $7x-y^2 \ge y^2x+y+7 \Leftrightarrow (7-y^2)(x+1) \ge 14+y$ .

Với $y^2 >7$ thì $(x+1)(7-y^2) <0$ mà $14+y>0$ , mâu thuẫn.

Vậy $y^2 \le 7 \Rightarrow y^2 \in \{ 1 ; 4 \} \Rightarrow y \in \{ 1;2 \}$ .

Nếu $y=1$ thì $z=\dfrac{x^2+x+1}{x+8}= x-7+ \dfrac{57}{x+8}$ là số nguyên dương khi $x+8 \mid 57$ . Do $x+8 \ge 9$ nên $x+8 \in \{ 19;57 \} \Rightarrow x \in \{ 11;49 \}$ .