Inequality 9

Tháng Năm 28, 2013 Bình luận về bài viết này Go to comments

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a^2+b^2+c^2=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= \dfrac{1}{9-5a}+ \dfrac{1}{9-5b}+ \dfrac{1}{9-5c}

Phân tích. Giả sử tồn tại x,y để \dfrac{1}{9-5a} \ge xa^2+y \qquad (1).

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=1, khi đó thay vào (1) thì ta được x+y= \dfrac 14 \Leftrightarrow y= \dfrac 14 -x.

Thay y vào (1) ta được

\begin{aligned} \dfrac{1}{9-5a}\ge xa^2+ \dfrac 14-x & \Leftrightarrow 1-(9-5a) \left( xa^2+ \dfrac 14-x \right) \ge 0 \\ & \Leftrightarrow 1+5xa^3-9xa^2 + \left( \dfrac 54-5x \right) a +9x - \dfrac 94\ge 0 \\ & \Leftrightarrow (a-1) \left( 5xa^2-4xa-9x+ \dfrac 54 \right) \ge 0 \end{aligned}

Vì dấu bằng xảy ra khi a=1 nên BĐT (1) sau khi biến đổi tương đương phải có nhân tử (a-1)^2.

Ta suy ra 5xa^2-4xa-9x+ \frac 54 phải có nhân tử a-1.

Do đó thì 5x-4x-9x+ \frac 54 =0 \Leftrightarrow x= \dfrac{5}{32} \Rightarrow y= \dfrac{3}{32}.

Như vậy \dfrac{1}{9-5a} \ge \dfrac{5a^2+3}{32}.

Lời giải. Ta có \dfrac{1}{9-5a} \ge \dfrac{5a^2+3}{32} \Leftrightarrow (25a+5)(a-1)^2 \ge 0, đúng với mọi 0<a< \sqrt 3. Như vậy

\dfrac{1}{9-5a} \ge \dfrac{5a^2+3}{32}, \; \dfrac{1}{9-5b} \ge \dfrac{5b^2+3}{32}, \; \dfrac{1}{9-5b} \ge \dfrac{5b^2+3}{32}

Cộng lại ta được P \ge \dfrac 34. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1.

Chuyên mục:Bài toán, Bất đẳng thức, Sơ cấp
  1. Không có bình luận
  1. No trackbacks yet.

Bình luận về bài viết này