Number theory 6

Tháng Năm 13, 2013 Bình luận về bài viết này Go to comments

(2001 Romanian JBMO TST) Giải phương trình nghiệm nguyên dương a^2+b^2+c^2+d^2=7 \cdot 4^n

Lời giải.

\blacktriangleright Nếu a,b,c,d đều lẻ thì VT \equiv 4 \pmod{8}. Do đó chỉ có thể n=1. Khi đó ta tìm được nghiệm (a,b,c,d)=(3,3,3,1),(5,1,1,1) và các hoán vị.

Nếu a,b,c,d đều chẵn thì đặt a=2a_1,b=2b_1,c=2c_1,d=2d_1 với a_1,b_1,c_2,d_1 \in \mathbb{N}^*. Khi đó

(1) \Leftrightarrow a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2=7 \cdot 4^{n-1} \qquad (2)

Nếu a_1,b_1,c_1,d_1 lẻ thì ở (2) ta có VT \equiv 4 \pmod{8}. Do đó n=2. Ta tìm được (a_1,b_1,c_1,d_1)=(3,3,3,1),(5,1,1,1) và các hoán vị tương ứng.
Còn nếu a_1,b_1,c_1,d_1 chẵn thì đặt a_1=2a_2,b_1=2b_2,c_1=2c_2,d_1=2d_2 với a_2,b_2,c_2,d_2 \in \mathbb{N}^*. Khi đó

(2) \Leftrightarrow a_2^2+b_2^2+c_2^2+d_2^2=7 \cdot 4^{n-2}

\blacktriangleright Lập luận, tương tự như trên, ta thấy 2^{k} \mid a, 2^k \mid b, 2^k \mid c, 2^k \mid d với k \in \mathbb{N},k \le n. Ta đặt a=2^k \cdot a_i, \; b=2_k \cdot b_i, \; c=2^k \cdot c_i, \; d=2^k \cdot d_i với a_i,b_i,c_i,d_i \in \mathbb{N}^* và a_i,b_i,c_i,d_i có ước chung không chia hết cho 2. Do đó

(1) \Leftrightarrow a_i^2+b_i^2+c_i^2+d_i^2=7 \cdot 4^{n-k} \qquad (3)

\blacktriangleright Nếu n-k \ge 2 thì ta dễ dàng suy ra a_i,b_i,c_i,d_i chẵn, mâu thuẫn với điều kiện đặt ra. Vậy hoặc n-k=0 hoặc n-k=1.

Với n-k=0 thì (3) \Leftrightarrow a_i^2+b_i^2+c_i^2+d_i^2=7. Ta tìm được (1,1,1,2) và các hoán vị tương ứng.

Với n-k=1 thì (3) \Leftrightarrow a_i^2+b_i^2+c_i^2+d_i^2=28. Ta tìm được (5,1,1,1),(3,3,3,1) và các hoán vị tương ứng.

Kết luận. Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên dương (a,b,c,d) = \left( 2^n,2^n,2^n,2^{n+1} \right), \left( 2^{n-1} \cdot 5, 2^{n-1},2^{n-1},2^{n-1} \right), \left( 2^{n-1} \cdot 3,2^{n-1} \cdot 3, 2^{n-1} \cdot 3, 2^{n-1} \right) và các hoán vị tương ứng.

Chuyên mục:Bài toán, Lý thuyết số, Phương trình nghiệm nguyên, Sơ cấp
  1. Không có bình luận
  1. No trackbacks yet.

Bình luận về bài viết này